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Algebra Inhalt Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen .............................................. 1 1 Elementare Gruppentheorie .................................................................................. 9 1.1 Gruppen ..................................................................................................... 10 1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen ............................................. 15 1.3 Zyklische Gruppen ..................................................................................... 20 2 Ringe und Polynome .......................................................................................... 25 2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen ....................................................... 28 2.2 Ideale .......................................................................................................... 34 2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe .......................................................... 37 2.4 Primfaktorzerlegung .................................................................................. 44 2.5 Polynomringe in mehreren Variablen ........................................................ 53 2.6 Nullstellen von Polynomen ........................................................................ 59 2.7 Der Satz von Gauß ..................................................................................... 61 2.8 Irreduzibilitätskriterien .............................................................................. 67 2.9 Elementarteilertheorie* ............................................................................. 69 3 Algebraische Körpererweiterungen .................................................................... 85 3.1 Die Charakteristik eines Körpers ............................................................... 87 3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen ...................................... 89 3.3 Ganze Ringerweiterungen* ....................................................................... 96 3.4 Algebraischer Abschluss eines Körpers .................................................. 103 3.5 Zerfällungskörper .................................................................................... 110 3.6 Separable Körpererweiterungen .............................................................. 114 3.7 Rein inseparable Körpererweiterungen ................................................... 122 3.8 Endliche Körper ....................................................................................... 126 3.9 Anfänge der algebraischen Geometrie* .................................................. 129 4 Galois-Theorie .................................................................................................. 137 4.1 Galois-Erweiterungen .............................................................................. 4.2 Proendliche Galois-Gruppen* ................................................................. 4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung ........................................................ 4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante und Resultante ....................... 4.5 Einheitswurzeln ....................................................................................... 139 146 158 167 182 4.6 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren ................................................ 191 4.7 Norm und Spur .......................................................................................... 194 4.8 Zyklische Erweiterungen .......................................................................... 199 4.9 Multiplikative Kummer-Theorie* ............................................................. 205 4.10 Allgemeine Kummer-Theorie und Witt-Vektoren* ................................ 211 4.11 Galois-Descent* ...................................................................................... 230 5 Fortführung der Gruppentheorie ........................................................................ 237 5.1 Gruppenaktionen ....................................................................................... 238 5.2 Sylow-Gruppen ......................................................................................... 243 5.3 Permutationsgruppen ................................................................................. 251 5.4 Auflösbare Gruppen .................................................................................. 255 6 Anwendungen der Galois-Theorie .................................................................... 261 6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen ................................................. 262 6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4* ........................................ 270 6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra ............................................................. 279 6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ....................................................... 282 7 Transzendente Erweiterungen ............................................................................ 291 7.1 Transzendenzbasen ................................................................................... 292 7.2 Tensorprodukte* ....................................................................................... 298 7.3 Separable, primäre und reguläre Erweiterungen* ..................................... 310 7.4 Kalkül der Differentiale* .......................................................................... 320 Anhang: Lösungshinweise zu den Aufgaben ........................................................ 331 Literatur.................................................................................................................. 365 Symbolverzeichnis ................................................................................................ 367 Namen- und Sachverzeichnis ................................................................................ 371